l relámpago en el cielo no se despliega en línea recta. La rugosidad de una coliflor o las caprichosas formaciones de la rama de un árbol son un desafío para los trazos limpios de la geometría que aprendimos en la escuela. Ni las líneas rectas, ni las curvas perfectas existen en la naturaleza. Pero a partir de la obra de Benoît Mandelbrot es posible acercarse a una teoría de la rugosidad irregular que es la marca del universo.

Hace una semana falleció este matemático, creador de la geometría fractal y otras maravillas cercanas a la teoría de caos. Fractal, una palabra acuñada por Mandelbrot, es una figura semi-geométrica que puede ser dividida en partes más pequeñas, de tal modo que cada una de estas fracciones es una representación a escala de la figura inicial. La rugosidad e irregularidad están íntimamente relacionadas con patrones de afinidad entre las partes y el todo. Un ejemplo es la coliflor: se puede desmenuzar todo lo que uno quiera y al amplificar cada una de sus inflorescencias individuales, se observa que las partes más pequeñas son similares a la coliflor entera. A esta propiedad se le denomina auto-afinidad.

En 1963 Mandelbrot analizó las variaciones de precios de algodón sobre una serie de tiempo. Dos hallazgos le sorprendieron. Primero, los movimientos de precios no tenían nada que ver con una distribución normal en la que la mayor parte de las variaciones está cerca del promedio. Los datos mostraban una mayor frecuencia de variaciones extremas. Segundo, el patrón de las variaciones era independiente de la escala: las curvas de cambios de precios en un día eran iguales a las de un mes. Y lo más asombroso era que estas características estaban presentes a lo largo de todo el tumultuoso período 1900-1960 que había presenciado dos guerras mundiales y una gran depresión.

Mandelbrot utilizó su teoría de fractales para explicar la presencia de eventos extremos en Wall Street. En 2004 publicó su libro sobre el mal comportamiento de los mercados financieros. La idea básica sobre la relación entre fractales y mercados financieros es que los eventos extremos son más probables y esto ofrece una visión más certera sobre los riesgos del mercado.

En el mundo financiero el objetivo central es maximizar los ingresos para un cierto nivel de riesgo. Los modelos comúnmente utilizados consideran que los eventos de variaciones extremas en los mercados financieros son muy poco probables y pueden, para fines prácticos, ser ignorados. Es decir, la premisa es que los movimientos de precios son resultado de procesos aleatorios bien portados. Cada variación de precios de un activo financiero es vista como si fuera independiente de la anterior. Los modelos convencionales (como el de Black-Scholes para precios de opciones) utilizan distribuciones probabilísticas normales para tratar las variaciones de precios. Una distribución normal es aquélla en la que el 95% de las observaciones está dentro de las primeras dos desviaciones estándar de la distribución (la desviación estándar mide qué tan lejos está una observación del promedio). Todo esto significa que los eventos extremos son improbables y pueden ser ignorados.

Para Mandelbrot esto es una pésima aproximación a los mercados financieros. En su enfoque la distribución de eventos no es normal (los eventos extremos tienen una mayor probabilidad). La curva de distribución exhibe la propiedad de kurtosis o de las llamadas colas pesadas o robustas. Esto es mucho más cercano a la realidad de los mercados financieros: el movimiento del índice Dow en los últimos cien años revela una frecuencia inquietante de movimientos violentos. Y sin embargo, aún hoy se usan los modelos convencionales dicen que esos eventos extremos ¡sólo pueden ocurrir una vez cada 10 mil años!

Una conclusión obvia del trabajo de Mandelbrot es que una mayor regulación es indispensable en los mercados financieros. Sin embargo, nada de lo que se ha hecho hasta hoy, a tres años de reventar la crisis, se acerca a lo que es necesario para acortarle la rienda a los operadores financieros. Por otro lado, Mandelbrot confirmó lo que ya se sabe sobre la inestabilidad de los mercados interdependientes y, en especial, de los mercados financieros. Pero Mandelbrot no buscó explicar las causas de las crisis, ni siquiera de la formación de expectativas à la Keynes o Minsky. Será interesante utilizar un enfoque de fractales para estudiar cómo cada crisis refleja la estructura del sistema capitalista (del momento) en su rugosidad y auto-afinidad. En los términos de la geometría fractal, ¿son auto-similares las crisis y sus detonadores?

Mandelbrot no tuvo una formación de economista, quizás por esa razón sus aportaciones exploran cómo se comportan los mercados. Esto es un avance frente a los doscientos años de una teoría económica cuyo programa de investigación consistió en tratar de demostrar (infructuosamente) que los mercados eran eficientes. En el contexto de la crisis global, Mandelbrot es una bocanada de aire fresco.

La belleza de la geometría fractal no tiene límites. Quizás el mensaje de Mandelbrot ya estaba en el poema de William Blake (The Auguries of Innocence): Contemplar el mundo en un grano de arena, / y un cielo en una flor silvestre, / acoger el infinito en la palma de tu mano, / y la eternidad en una hora.

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